Orthogonalité et distances dans l’espace - Spécialité
Utiliser le produit scalaire : Orthogonalité de deux vecteurs
Exercice 1 : Déterminer si 2 vecteurs sont orthogonaux à partir de leur produit scalaire
Déterminer lesquels de ces 4 vecteurs sont orthogonaux
\[ \overrightarrow{t} (-2 ; 0 ; 0) \] \[ \overrightarrow{u} (-1 ; 1 ; 2) \] \[ \overrightarrow{v} (-3 ; -3 ; 0) \] \[ \overrightarrow{w} (0 ; 0 ; 1) \] Parmi les choix suivants, lesquels sont vrais?- A.\( \overrightarrow{t} \) et \( \overrightarrow{u} \) sont orthogonaux
- B.\( \overrightarrow{t} \) et \( \overrightarrow{v} \) sont orthogonaux
- C.\( \overrightarrow{t} \) et \( \overrightarrow{w} \) sont orthogonaux
- D.\( \overrightarrow{u} \) et \( \overrightarrow{v} \) sont orthogonaux
- E.\( \overrightarrow{u} \) et \( \overrightarrow{w} \) sont orthogonaux
- F.\( \overrightarrow{v} \) et \( \overrightarrow{w} \) sont orthogonaux
- G.aucun de ces vecteurs ne sont orthogonaux
Exercice 2 : Calculer des coordonnées de vecteurs et utiliser le produit scalaire pour trouver des droites orthogonales
Dans un repère orthonormé, on considère les points \( A(4;-6;-2) \) ; \( B(6;-4;-4) \) ; \( C(-3;2;-1) \) ; \( D(-4;3;-1) \) ; \( E(3;1;3) \) et \( F(6;-1;4) \)
Exercice 3 : Déterminer quelle droite est orthogonale à un plan défini par les coordonnées de trois points
Dans un repère orthonormé, on considère les points \( A(6;5;-7) \) ; \( B(2;-7;-3) \) et \( C(-6;-2;0) \).
On note trois droites :
- \( (d_{1}) \) de vecteur directeur \( \overrightarrow{u} = \begin{bmatrix}
-3\mbox{,}5 \\
3\mbox{,}8 \\
-2\mbox{,}2
\end{bmatrix} \)
- \( (d_{2}) \) de vecteur directeur \( \overrightarrow{v} = \begin{bmatrix}
-3\mbox{,}4 \\
0\mbox{,}5 \\
-1\mbox{,}9
\end{bmatrix} \)
- \( (d_{3}) \) de vecteur directeur \( \overrightarrow{w} = \begin{bmatrix}
-5\mbox{,}6 \\
-2 \\
-11\mbox{,}6
\end{bmatrix} \)
Exercice 4 : Déterminer si 2 vecteurs sont orthogonaux à partir de leur produit scalaire
Déterminer lesquels de ces 4 vecteurs sont orthogonaux
\[ \overrightarrow{t} (0 ; -3 ; -2) \] \[ \overrightarrow{u} (-1 ; -3 ; -2) \] \[ \overrightarrow{v} (1 ; 1 ; -3) \] \[ \overrightarrow{w} (-1 ; 2 ; -3) \] Parmi les choix suivants, lesquels sont vrais?- A.\( \overrightarrow{t} \) et \( \overrightarrow{u} \) sont orthogonaux
- B.\( \overrightarrow{t} \) et \( \overrightarrow{v} \) sont orthogonaux
- C.\( \overrightarrow{t} \) et \( \overrightarrow{w} \) sont orthogonaux
- D.\( \overrightarrow{u} \) et \( \overrightarrow{v} \) sont orthogonaux
- E.\( \overrightarrow{u} \) et \( \overrightarrow{w} \) sont orthogonaux
- F.\( \overrightarrow{v} \) et \( \overrightarrow{w} \) sont orthogonaux
- G.aucun de ces vecteurs ne sont orthogonaux
Exercice 5 : Calculer des coordonnées de vecteurs et utiliser le produit scalaire pour trouver des droites orthogonales
Dans un repère orthonormé, on considère les points \( A(-4;0;6) \) ; \( B(-5;-3;1) \) ; \( C(1;3;-2) \) ; \( D(3;4;-3) \) ; \( E(-1;-1;6) \) et \( F(2;-4;5) \)